四概率贝叶斯问题的解答流程

丹尼尔·卡尼曼是著名的心理和经济学家，曾于2002年获诺贝尔经济学奖。他在著作 《思考，快与慢》 中出了这样一道题：

一辆出租车在夜晚肇事之后逃逸，一位目击证人辨认出肇事车辆是蓝色的。已知这座城市 85% 的出租车是绿色的，15% 是蓝色的。警察经过测试，认为目击者在当时可以正确辨认出这两种颜色的概率是 80%, 辨别错误的概率是 20%. 请问，肇事出租车是蓝色的概率是多少？

如果你已经学过了贝叶斯定理，可以花上 5 分钟的时间尝试解答这个问题。

在公布答案之前，我们先来分析这个题目。

阅读之后，我的第一感觉是，提问的方式有一定的迷惑性。当晚肇事出租车是蓝色的概率，似乎并不容易找到与其他概率的对应关系。这时，我们要记住，贝叶斯问题求解的一定是后验概率。现在这个概率长着一副先验概率的模样，并没有“在 XX 条件下”这样的限定，但只要稍加思考，就可以看出它的本质。所谓肇事出租车是蓝色的概率，在没有目击证人之前是 15%, 这是先验概率。目击证人辨认出车是蓝色的之后，这个概率发生了变化，因此我们所求的正是这个后验概率。

众所周知，贝叶斯公式是

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\ast P(A)}{P(B)}$$

对于本问题而言，A 事件是肇事出租车为蓝色，B 事件是目击证人辨认出一辆出租车为蓝色。现在我们来计算$P(A),P(B),P(B|A)$的概率。

首先，根据之前的分析，先验概率$P(A)$可以直接看出是 15%.

其次，我们来考虑$P(B|A)$的实际意义。在肇事出租车为蓝色的条件下，目击证人辨认它为蓝色的概率，其实就是目击证人正确辨认这两种颜色的概率。按照题目当中的说法，这个概率是 80%.

最后，计算$P(B)$是一个较为麻烦的过程。目击证人看到一辆车为蓝色，实际上有两种可能：一种是车本身为蓝色，辨认也是正确的；另一种是车本身为绿色，但被错看成是蓝色。将这两种情况相加，才是$P(B)$的真实值。

将上述三个概率带入公式中，可以得到$P(A|B)=0.41$.

上面的习题是一个经典的四概率贝叶斯问题。这种问题虽然有一定的迷惑性，但也具有简单易行的解答流程。

1. 将待求解的概率通过一个后验概率的形式表达出来。
2. 将这个后验概率的条件与结论拆开，写出 A 事件和 B 事件。
3. 列写贝叶斯公式。
4. 明确分子上的两个概率的意义，他们可以从题目中直接找到。
5. 求解分母的概率。注意它一定包含了分子中的事件。
6. 求解贝叶斯概率，检查答案。